定义

if convex if

  • 定义域是凸的
  • 满足

    感性理解：任意的直线在函数上方

if strictly convex if

  • 定义域是凸的
  • 满足

    和上面那个只差一个负号

特殊性质

仿射函数既是凸函数，又是凹函数

基于导数的其它定义方式

First-order condition

如果函数 是可微的，那么函数 是凸的当且仅当

  • is convex
  • For all

Second-order condition

如果 是二阶可微的，那么 是凸的当且仅当

  • 的定义域是凸的
  • For all
    这里的 是Hesson矩阵，考虑是不是正定的

判定方法

0阶条件

定义法：

利用定义域中所有的直线和它相交
![[image/Pasted image 20231109200631.png]]
注意，这里的 中的 是任意一个

1阶条件

![[image/Pasted image 20231109200748.png]]

2阶条件

![[image/Pasted image 20231109200833.png]]