数学分析总结
积分总结
常用且记不到的公式
定积分的常用技巧
保向性
若
保向性被用于证明积分相关的不等式，如教材P186的A组第14题
微分中值定理
描述
若
该定理常用于证明存在某些特殊点使得某个等式成立，如教材P186B组第3题
证明
首先我们通过达布上和和达布下和，得到
式子2.2.1是由于我们在每个区间里面分别选取最小值和最大值，这是上界和下界。再由
特殊不等式证明
柯西不等式的积分形式
设
证明
对任意
没有两个根，使用判别式，有
整理可得
牛顿-莱布尼茨公式
描述
证明
使用差分和拉格朗日中值定理的技巧，详情见教材P187
微积分第一基本定理（可变上限的积分）
描述
设
证明
连续函数版本
$$
\begin{split}
\varPhi’(x_0) &=\lim_{t \to 0} \frac{\varPhi(x_0 +t) - \varPhi(x_0)}{t}\
&= \lim_{t \to 0} \frac{\int {a}^{x_0 + t}f(x)\mathrm{d}x - \int {a}^{x_0}f(x)\mathrm{d}x}{t}\
&= \lim{t \to 0} \frac{\int {x_0}^{x_0 + t}f(x)\mathrm{d}x}{t}\
&= \lim{t \to 0} \frac{f(\xi)(x_0 + t - x_0)}{t}(\xi\in(x_0,x_0 + t))\
&= \lim{t \to 0} f(\xi)\
&= f(x_0)
\end{split}
$$
这里主要使用了一个积分中值定理
可积函数版本
2.3.7微积分第一基本定理 - 知乎 (zhihu.com)
定积分的应用
弧长公式
这里
证明
而
同时我们注意到
所以有
然后用积分的定义，得到
面积
极坐标下，定积分求面积公式推导 - 知乎 (zhihu.com)
极坐标
第一类
第二类
反常积分技巧
反常积分分无穷区间积分和无界积分，概念分别在书上P227和P230，基础的就是分解成为一个求极限和一个定积分
第一准则
描述
若
- 若
收敛，则 收敛 - 若
发散，则 发散
证明
由于
而
单调递增，由单调有界知
第二准则
描述
如果
- 若
，则 和 有相同的敛散性 - 若
，若 收敛，则 收敛 - 若
，若 发散，则 发散
证明
case1
由定义可知，
由比较准则1得出结论
case2
由定义可知，
移项可得
根据比较准则1，
case3
同上
定积分定义求极限的方法
常用公式
该公式用于将数列求和转化为定积分定义，变成曲边梯形求面积
视频参考
听完这个视频，你可以秒杀所有辅导书中的定积分定义求极限的题_哔哩哔哩_bilibili
适用条件
第一项
tips：
如何判断使用夹逼准则还是定积分定义：看变量和不变量的阶数是否相等
同阶不可以使用夹逼准则，夹逼准则无法放大或缩小
更进一步
末项不是
如果里面的不是加到
这里判断到底区间是多少是依据有多少项来看的，有
间隔不是1
首先把最开始不是等差公式的部分丢掉
然后按照等差数列的差提取积分变量，注意补系数
另一种我自己的方法：
第一步看变化的量的极限范围，比如
第二步看等差数列的公差是多少，定下前面提出的系数
第三步带入公式
例题1
其中
例题2
本题的两个难点第一个就是这里还是要用等价无穷小替代掉前面的那个部分，第二个难点是处理
微分方程解中值定理
对于
构造
多元函数部分
隐函数存在定理
条件
如果二元函数
- 在点
的某邻域内有连续的偏导数
则方程
证明（伪）
所以
该结论可以推广至多元
为什么这个是伪证呢？因为这并没有说明为什么函数是存在的，只是指出了它倒数的形式
求导次序与结果无关的充分条件
要求
若函数
证明
考虑函数
再考虑一下两个函数
不难发现
$$
\begin{split}
\Delta \varphi &= I(\Delta x,\Delta y) \
&= \Delta x \times {\varphi}{x}(x_0 + \theta_1 \Delta x,y_0) \
&= \Delta x \times (f_x (x_0 + \theta_1 \Delta x ,y_0) - f_x(x_0 + \theta_1 \Delta x ,y_0)) \
&= \Delta x \Delta y f{xy}(x_0 + \theta_1 \Delta x ,y_0 + \theta_2 \Delta y)
\end{split}
$$
对
多元函数的泰勒公式
描述
设二元函数
其中
证明
设
由于
所以
带入令